Medidas de Posição Médias

Medidas de Posição

• Definição: Medidas que fornecem informações descritivas sobre uma massa de dados, seja amostra ou população.
• Importância: Ajuda a contar a história dos dados, como na rentabilidade de investimentos financeiros.

Tipos de Medidas de Posição

• Média:

  • Conceito: Também conhecida como esperança matemática, representa a expectativa em relação a um grupo de dados.

  • Aplicação: Utilizada para analisar a rentabilidade média de um investimento ao longo do tempo.

  • Tipos de Médias:

    • Média Aritmética: Soma dos valores dividida pelo número de elementos.
    $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n}$$
    • Média Ponderada: Soma dos valores multiplicados por seus respectivos pesos dividida pela soma dos pesos.
    $$M_p = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_ip_i}{\sum_{i=1}^{n}p_i} = \frac{x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n}{p_1 + p_2 + ... + p_n}$$

    💡 Alguns valores são intrinsecamente mais variáveis que outros, e observações altamente variáveis recebem um peso menor. Por exemplo, se estivermos tirando a média de diversos sensores e um deles for menos preciso, então devemos diminuir o peso dos dados desse sensor.

    • Média Geométrica: Raiz enésima do produto dos valores, usada para taxas de crescimento e inflação.
    $$\left(\prod_{i=1}^{n} a_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n}$$
    • Média Harmônica: Número de elementos dividido pelo somatório dos recíprocos dos valores, que é aplicada a grandezas conhecidas como taxas de variação, velocidades médias.
    $$\bar{h} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}$$

    • Média Aparada ou Truncada: A média de todos os valores depois da exclusão de um número fixo de valores extremos “outliers”.

    💡 Por exemplo, em uma competição internacional de mergulho, as notas máximas e mínimas dos cinco juízes são descartadas, e a nota final é a média dos três juízes restantes (Wikipedia, 2016). Isso dificulta a manipulação do placar por um único juiz.

• Mediana:

  • Conceito: O valor que ocupa a posição central em uma coleção de dados ordenados.
  • Aplicação: Indica o ponto médio dos dados, onde metade dos valores é menor e a outra metade é maior.

• Moda:

  • Conceito: O valor que mais se repete em um conjunto de dados.
  • Aplicação: Identifica o valor mais comum em uma amostra ou população.

Exemplos Práticos

• Altura das Pessoas:
  • Média Aritmética: Soma das alturas dividida pelo número de pessoas.
  • Média Ponderada: Utilizada para calcular a média das notas de um aluno considerando o peso de cada avaliação.
  • Média Geométrica: Usada para calcular taxas de crescimento de altura em estudos de crescimento populacional.
  • Média Harmônica: Utilizada para calcular a velocidade média de um percurso com diferentes velocidades.
  • Média Aparada ou Truncada: Cálculo da média das rentabilidades de um portfólio após remover os anos com rentabilidades mais altas e mais baixas para evitar distorções causadas por valores extremos.

Conclusões

• Importância das Medidas de Posição: Fornecem uma visão clara e descritiva dos dados.
• Complemento à Intuição: Ajudam na tomada de decisões fundamentadas, complementando a intuição do tomador de decisões.